空き家を放置すると固定資産税が６倍になると聞きました。

その通りです。
元々居住用の家に対して固定資産税が１／６になるという特例で固定資産税が抑えられています。
ですので、放置して近所にも迷惑がかかる様な状態になると特定空き家に指定され１／６の特例が受けられなくなります。つまり６倍になるということです。

ですので、使わなくなった空き家はなるべく早めに他の方にお譲りするのが得策です。
当社でも、他の方にお譲り（販売・譲渡）するお手伝いをさせて頂いています。お気軽にご相談ください。